Теорема Фалеса Теорема.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство.
Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.
Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.
www.terver.ru
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов, т.е.
В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, т.е.
, http://www.repetitor.mathematic.of.by/spavka_....08.gif.
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, т.е.
.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
(теорема Пифагора).
СВОЙСТВО ОТРЕЗКОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны.
Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или барицентром.
Свойства медианы:
· Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. (две плоские фигуры называются равновеликими, если их площади равны).
· Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра от вершины треугольника до противолежащей стороны или ее продолжения.
Точка пересечения высот остроугольного или прямоугольного треугольника называется ортоцентром.
Свойства высот:
· Высоты треугольника пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника.
· Если AD, BE, CF – высоты треугольника ABC, О – точка пересечения этих высот или их продолжений, то
.
Связь радиуса вписанной окружности с высотами треугольника:
Биссектриса треугольника – это отрезок, исходящий из вершины треугольника и делящий этот угол пополам.
Свойства биссектрис:
Любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон (продолжения сторон) угла.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.
Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника РИС.
Треугольник, вписанные и описанные окружности.
Вписанная в треугольник окружность – это окружность, которая касается всех его сторон.
Описанная около треугольника окружность – это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.
Центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис.
Центр описанной около треугольника окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров.