Теорема.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.
Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.

www.terver.ru

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов, т.е.

В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, т.е. , http://www.repetitor.mathematic.of.by/spavka_....08.gif.

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, т.е. .

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

СВОЙСТВО ОТРЕЗКОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны.

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или барицентром.

Свойства медианы:

· Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. (две плоские фигуры называются равновеликими, если их площади равны).

· Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра от вершины треугольника до противолежащей стороны или ее продолжения.

Точка пересечения высот остроугольного или прямоугольного треугольника называется ортоцентром.

Свойства высот:

· Высоты треугольника пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника.

· Если AD, BE, CF – высоты треугольника ABC, О – точка пересечения этих высот или их продолжений, то .

Связь радиуса вписанной окружности с высотами треугольника:

Биссектриса треугольника – это отрезок, исходящий из вершины треугольника и делящий этот угол пополам.

Свойства биссектрис:
Любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон (продолжения сторон) угла.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.

Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника РИС.

Треугольник, вписанные и описанные окружности.

Вписанная в треугольник окружность – это окружность, которая касается всех его сторон.

Описанная около треугольника окружность – это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис.

Центр описанной около треугольника окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Трикутник – 1) багатокутник із трьома сторонами; 2) це фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, та трьох відрізків, які сполучають попарно ці точки. Відрізки називають сторонами трикутника, а точки – вершинами трикутника.

Трикутники рівні, якщо вони при накладанні співпадають. Трикутники рівні, якщо існує рух площини, що переводить один трикутник в інший.

Два трикутники подібні, якщо кути одного трикутника відповідно дорівнюють кутам іншого трикутника та сторони одного пропорційні відповідним сторонам іншого.

Бісектриса трикутника – відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

Медіана трикутника – відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Висота трикутника – перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Якщо один з кутів прямий, то трикутник – прямокутний, якщо тупий – тупокутний, якщо всі кути гострі – гострокутний. Якщо в трикутнику дві сторони рівні, то трикутник – рівнобедрений, якщо три – рівносторонній.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін.

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака
Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам та куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака
Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака
Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Ознаки подібності трикутників

1) Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

2) Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

3) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

Кут, вписаний у коло дорівнює половині відповідного центрального кута.

Кути, що спираються на діаметр, прямі.

Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину його бісектрис.

Центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

formula.co.ua