rss · П'ятниця, 20.10.2017, 17:19

Опитування

Дендрологічний парк
1. Відреставрувати парк
2. Мені байдуже
3. Парк і так гарний
4. Допоможу з реставрацією
5. Замість парку будинки
Всього відповідей: 39
Сторінка 1 з 11
Модератор форуму: Shooler, lusi 
Форум селища міського типу Червоне, Червоне - зробимо кращим »  Школопедія (Школопедия) » Математика » 08 клас - Гмт - Тема 01: Чотирикутники. (08 клас - Гмт - Тема 01: Чотирикутники.)
08 клас - Гмт - Тема 01: Чотирикутники.
ShoolerДата: Четвер, 12.02.2009, 10:17 | Повідомлення № 1
Супермодератор
Група: Модератори
Повідомлень: 3529
х-статус:
Veni! Vidi! Vici!

8 клас - Геометрія - Тема 1: Чотирикутники.

Чотирикутник, його елементи. Паралелограм та його властивості. Ознаки паралелограма. Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості. Трапеція.
Вписані та описані чотирикутники. Вписані та центральні кути.
Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника, її властивості.
Середня лінія трапеції, її властивості.



Я - волк! И вожака хочу я трон.
Ведь жизнь имеет волчий нрав.
В ней справедливейший закон -
Кто всех сильнее тот и прав!


Повідомлення відредактовано Shooler - Вівторок, 17.11.2009, 20:06
 
lusiДата: П'ятниця, 05.06.2009, 22:56 | Повідомлення № 2
Шановний мешканець
Група: Друзі
Повідомлень: 458

ОЗНАЧЕННЯ ЧОТИРИКУТНИКА

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, - сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, які не є сусідніми , називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. У чотирикутнику на малюнку 91 діагоналями є АС, ВD.

С

В ž

А D

Сторони чотирикутника. Що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутну на малюнку 91 протилежними є сторони АВ і СD, ВС і АD.

Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на малюнку 01 позначено так: АВСD. У записі чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник АВСD на малюнку 91 можна позначити ВСDА або СDА, але не можна позначити АВСD (В і D – несусідні вершини).

ПАРАЛЕЛОГРАМ

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих ( мал.93а).

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник – паралелограм.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма перетинаються і точці перетину діляться пополам.

Теорема 3. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Доведення. Нехай АВСD – даний паралелограм Проведемо діагоналі паралелограма. Нехай ) – точка їх перетику. Рівність протилежних сторін АВ і СD випливає з рівності трикутників АОВ і СОD. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА +ОС і ОВ + OD за теоремою 2. Так само з рівності трикутників АОD і СОВ випливає рівність другої пари протилежних сторін АD і ВС.

Рівність протилежних АВС і СDА випливає з рівності трикутників АВС і СDА (за трьома сторонами). У них АВ+СВ і ВС + DА за доведеним, а сторона АС спільна.

Так само рівність протилежних кутів ВСD іDАВ випливає з рівності трикутників ВСD і DАВ. Теорему доведено.

ПРЯМОКУТНИК. РОМБ. КВАДРАТ

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Твердження теореми випливає з рівності прямокутних трикутників ВАD і СDА. У них кути ВАD і СDА прямі , катет АD спільник, а катети АВ і СD рівні як протилежні сторони паралелограма. З рівності трикутників випливає, що їх гіпотенузи теж рівні. А гіпотенузи є діагоналями прямокутника. Теорему доведено.

Теорема 2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Доведення. Нехай АВСD – даний ромб., а О – точка перетину його діагоналей. За властивість. Паралелограма АО=ОС . Отже у рівнобедреному трикутнику АВС відрізок ВО є медіаною. За властивістю рівнобедреного трикутника медіана, проведена до його основи, є бісектрисою і висотою. А це означає, що діагональ ВD є бісектрисою кута В і перпендикулярна до діагоналі АС. Теорему доведено.

Квадрат – це прямокутник, якого всі сторони рівні.

Квадрат є також ромбом, тому він має властивості прямокутника і ромба.

ТРАПЕЦІЯ

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.

Теорема 1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Теорема 2. Паралельні прямі що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.



Я - Ангел!.. Только крылья в стирке, нимб на подзарядке, а рожки и хвост - это у меня наследственное...))))
 
lusiДата: П'ятниця, 05.06.2009, 22:58 | Повідомлення № 3
Шановний мешканець
Група: Друзі
Повідомлень: 458

Ознаки паралелограма.

Чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов:

Ознака 1. Протилежні сторони попарно рівні (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).

Ознака 2. Протилежні кути попарно рівні.

Ознака 3. Дві протилежні сторони рівні і паралельні (|AB| = |CD|, AB || CD).

Ознака 4. Діагоналі діляться в точці їх перетину навпіл (|AЕ| = |ЕC|, |BЕ| = |ЕD|).

Доведення ознак. Нехай чотирикутник ABCD такий що: |AB| = |CD| і |BC| = |AD|.

Проведемо діагональ BD, ми отримаємо два трикутники, які рівні, оскільки діагональ BD - спільна сторона для двох трикутників. |AB| = |CD| і |BC| = |AD| (з умови). З рівності цих трикутників виходить: ÐABD = ÐBDC і ÐABD = ÐCBD і внаслідок цього AB||CD і BC||AD.

Нехай чотирикутник ABCD такий що: BC || AD і |BC| = |AD|. Трикутники ABC і BCD рівні (дивись попередній доказ) => ÐBAC = ÐACD. Таким чином AB||CD.

Площу паралелограма можна знайти:

•· як добуток висоти на сторону, до якої проведена висота.

•· як добуток двох сторін і синуса кута між ними.

•· як половина добутку двох діагоналей і синуса кута між ними.

До паралелограмів належать відомі вам чотирикутники: прямокутник, ромб, квадрат.

Ромб

Означення. Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Означення. Ромб, у якого прямі кути, називається квадратом.

Слово «ромб» вперше уживається у працях Герона і Паппа Александрійського.

Елементи симетрії ромба.

Ромб має наступні елементи симетрії: одну вісь симетрії яка перпендикулярна площині ромба і проходить через його центр; дві осі симетрії другого порядку, з яких дві проходять вздовж діагоналей ромба.

Властивості ромба

Теорема 1. Ромб є параллелограммом. Його сторони, що протилежать, попарно паралельні, АВ || CD, AD || ВС.

Теорема 2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом (AC ^ BD) і в точці перетину діляться навпіл.

Теорема 3. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів (ÐDCA = ÐBCA, ÐABD = ÐCBD і т. д.).

Теорема 4. Сума квадратів діагоналей рівна квадрату сторони, помноженому на чотири.

Площа ромба

Площа ромба рівна половині добутку його діагоналей. Оскільки ромб є параллегограммом, тоді його площа також рівна добутку його сторони на висоту.
Площа ромба рівна квадрату його сторони на синус кута між сторонами.

Прямокутник

Означення. Прямокутник - це чотирикутник, у якого всі кути прямі, тобто, рівні 90°.

Означення. Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін, а шириною довжину коротшої пари сторін.

Властивості прямокутника.

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Теорема 2. Прямокутник є паралелограмом його протилежні сторони паралельні.

Теорема 3. Сторони прямокутника є одночасно його висотами.

Теорема 3. Квадрат діагоналі прямокутника рівний сумі квадратів двох його суміжних сторін.

Теорема 4. Прямокутник, який одночасно є і ромбом (у якого всі сторони рівні) - це квадрат.

Теорема 5. Довжина діагоналі прямокутника обчислюється за теоремою Піфагора і рівна квадратному кореню з суми квадратів довжини і ширини.

Площа і периметр

Величина площі прямокутника рівна твору ширини прямокутника на його висоту.

Периметр прямокутника рівний подвоєній сумі довжин його ширини і висоти.

квадрат один з окремих випадків прямокутника.

Квадрат

Означення. Квадрат - правильний чотирикутник. Може бути визначений, як прямокутник, у якого дві сусідні сторони рівні або як ромб у якого всі кути прямі.

Елементи симетрії

Квадрат має наступні елементи симетрії: одну вісь симетрії яка перпендикулярна площині квадрата і проходить через його центр; чотири осі симетрії другого порядку, з яких дві проходять вздовж діагоналей квадрата, а інші дві - паралельно сторонам, і проходять через середини сторін квадрата.

Квадрат володіє найбільшою кількістю симетрій серед всіх чотирикутників.

Властивості квадрата:

Теорема 1. При розрізанні квадрата діагоналлю отримуємо два рівнобедрених прямокутних трикутники.

Теорема 2. Діагональ квадрата рівна добутку сторони і квадратного кореня з двійки.

Теорема 3. Радіус описаного кола дорівнює половині добутку сторони і квадратного кореня з двійки.

Теорема 3. Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Теорема 4. У квадрата центри вписаного і описаного кіл і центр симетрії співпадають.

Периметр і площа квадрата

Нехай a - сторона квадрата, R - радіус описаного кола, r - радіус вписаного кола. Тоді периметр квадрата рівний: P = 4a = 4(20,5)R2 = r2.

а площа S квадрата розраховується по формулі

S = а2 = 2R2 = 4r2.

ТРАПЕЦІЯ

Означення. Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні.

Означення. Паралельні сторони трапеції називаються основами трапеції.

Означення. Дві непаралельні сторони називаються бічними сторонами трапеції.

Означення. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.

Означення. Відрізок, який є перпендикуляром до двох основ трапеції, називається висотою трапеції. Висота трапеції позначається: h.

Класифікація трапецій.

Означення. Трапеція, у якої бічні сторони не рівні, називається різносторонньою.

Означення. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною.

Означення. Трапеція називається прямокутною, якщо одна бічна сторона перпендикулярна до основи.

Властивості трапеції.

Зауважимо, що паралелограм - можна розглядати як окремий випадок трапеції.

Теорема 1.Середня лінія трапеції паралельна основам і рівна їх напівсумі.

Теорема 2.У равнобічної трапеції кути при основі рівні.

Теорема 3.У равнобічної трапеції діагоналі рівні.

Теорема 4.Якщо трапеція равнобічної, то біля неї можна описати коло.

Теорема 5.Якщо сума основ трапеції рівна сумі бічних сторін, то в неї можна вписати коло.

Теорема 6. Якщо а і b - основи трапеції і h - висота трапеції, тоді площа трапеції рівна добутку висоти і середньої лінії. S = 0,5(а + b)h.

Теорема 7. Якщо а, b, с і d - сторони трапеції, тоді площа трапеції

S = 0,25(a+c) (a-c)-1(а + b - с +d)0,5(а - b - с +d)0,5(а + b - с -d)0,5(-а + b +с +d)0,5

Дельтоїд

Означення. Дельтоїд - це чотирикутник, що володіє двома парами сусідніх сторін однакової довжини. На відміну від паралелограму, рівними є не протилежні, а саме дві пари сусідніх сторін. Дельтоїд має форму, схожу на повітряного змія.

Окремими випадками дельтоїда є рівносторонні чотирикутники - це ромби, зокрема, правильні чотирикутники або квадрати.

Якщо протилежні сторони дельтоида рівні, то такий дельтоїд є ромбом.

Якщо рівні діагоналі дельтоїда і чотири сторони рівні, то дельтоїд є квадратом.

Властивості дельтоїда.

Теорема 1. У дельтоїда внутрішні кути між сторонами нерівної довжини рівні.

Теорема 2. Діагональ дельтоїда, що з'єднує дві вершини нерівних кутів лежить на бісектрисах нерівних кутів.

Теорема 3. Діагональ дельтоїда, що з'єднує дві вершини нерівних кутів лежить на осі симетрії дельтоїда.

Теорема 4. Діагональ дельтоїда, що з'єднує дві вершини рівних кутів, являється основою двох рівнобедрених трикутників, на які вона розділяє дельтоїд.

Теорема 5. Дельтоїд являється опуклим чотирикутником, що містить в собі два трикутники, які симетричні відносно однієї з діагоналей.

Теорема 6. Діагональ дельтоїда, що з'єднує дві вершини рівних кутів, утворює зі рівними сторонами дельтоїда рівні кути.

Теорема 7. Діагоналі дельтоїда перетинаються під прямим кутом і розділяють його на дві пари рівних прямокутних трикутників.

Теорема 8. Якщо d1 і d2 довжина діагоналей дельтоїда, то його площа можна знайти половина добуток діагоналей, S = 0,5d1∙d2.

Теорема 9. Якщо а і b довжини сторін, і j - величина кута між ними, то площу можна знайти, як добуток двох нерівних сторін і синуса кута між ними. S = ab∙sinj.

Теорема 10. У будь-який дельтоїд можна вписати коло, центр якого є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів дельтоїда. Отже, дельтоїд є описаним чотирикутником.

Теорема 11. Якщо точка перетину діагоналей дельтоїда співпадає з центром вписаного кола, тоді це ромб.

Теорема 12. Якщо дельтоїди мають паралельні сторони з нерівними прилеглими кутами, тоді у нього є дві осі симетрії, і центр симетрії.

Теорема 13. Якщо дельтоїди мають рівні внутрішні кути, тоді у нього є дві осі симетрії, і центр симетрії.

Нагадаємо, що три види чотирикутників мають симетрію: паралелограм - центрально- симетричний; дельтоид - симетричний щодо однієї діагоналі; равнобічна трапеція - симетрична відносно середньої лінії, яка з'єднує основи. Не випадково словом "трапеція" у минулому позначали будь-який чотирикутник, відмінний від паралелограма.

Теорема 14. Якщо на сторонах рівнобічної трапеції зовні побудувати чотири правильні многокутники, тоді центри правильних многокутників є вершинами дельтоїда.
Співвідношення між множинами найважливіших видів чотирикутників можна зобразити діаграмою.

Розуміти цю діаграму треба так:

•· кожний квадрат це водночас і чотирикутник, паралелограм, прямокутник, ромб і дельтоїд,

•· кожний прямокутник - чотирикутник і паралелограм,

•· кожний ромб - чотирикутник і паралелограм,

•· кожний дель­тоїд, відмінний від ромба, - не паралелограм,

•· кожна трапеція - не дельтоїд.

На відміну від трикутника чотирикутник (як кон­тур) - фігура не жорстка.

Уявіть модель чотирикутни­ка, зроблену із шарнірно сполучених планок. Шарнірна модель вказує на те, що можна утворювати різні чотирикутники з рівними сторонами.



Я - Ангел!.. Только крылья в стирке, нимб на подзарядке, а рожки и хвост - это у меня наследственное...))))
 
Форум селища міського типу Червоне, Червоне - зробимо кращим »  Школопедія (Школопедия) » Математика » 08 клас - Гмт - Тема 01: Чотирикутники. (08 клас - Гмт - Тема 01: Чотирикутники.)
Сторінка 1 з 11
Пошук:


Оплата будь-яких послуг через інтернет

Вхід

Логін:
Пароль:

Інформація

Ваш IP: 23.20.120.3
Браузер:

Cайт живе: