Наприклад



Два вирази, відповідні числові значення яких рівні при всіх
допустимих значеннях змінних, називаються тотожно рівними або тотожними.

Два тотожних вирази, з'єднані знаком рівності, утворюють
тотож-ність. Заміна одного виразу іншим, тотожним йому, називається
тотожним перетворенням (тотожне перетворення - identical transformation)
даного виразу.

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному.

Наприклад



Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб тотожно
рівним йому дробом. Таке перетворення називають скороченням дробу
(скорочення дробу - reduction of fraction) .

Наприклад



Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх
чисельники, а знаменник залишити той самий. Щоб знайти різницю дробів з
однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти
чисельник від'ємника, а знаменник залишити той самий.

Наприклад



Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника.

Наприклад



Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і
окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий -
знаменником дробу.

Наприклад



Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня
чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а
другий - у знаменнику дробу.

Наприклад



Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.

Наприклад



Значення дробу дорівнює нулю лише, коли чисельник перетворюється на нуль:



Дріб не має змісту у випадку, коли знаменник перетворюється на нуль:

не має змісту.

Квадратні рівняння. Квадратне
рівняння — це рівняння вигляду де — змінна ; — дійсні числа, Вираз називається
дискримінантом квадратного рівняння.

— формула для
знаходження коренів квадратного рівняння.

Якщо , то — дійсні і різні;
якщо , то — дійсні і , якщо , то рівняння не має дійсних коренів.

Зведеним квадратним рівнянням
називається рівняння вигляду (коефіцієнт при дорівнює 1).

Теорема Вієта. Нехай — корені зведеного квадратного рівняння .

Тоді

Приклад 1. Знайти значення параметра , при якому сума коренів рівняння дорівнює 1.

Розв’язання. Поділимо рівняння на :

За теоремою Вієта, Звідси

Відповідь: -0,5.

Системи лінійних рівнянь.
Розглянемо
систему рівнянь

де — дійсні числа
(коефіцієнти системи), — змінні.

1)
Якщо то система має безліч
розв’язків.

2)
Якщо то система не має
розв’язків.

3)
Якщо не
виконуються умови 1) і 2), то система має єдиний
розв’язок.

Приклад 2. Знайти значення параметра , при якому система

не має розв’язку.

Розв’язання. Для
того, щоб система не мала розв’язку, повинна виконуватися умова

Звідси

Відповідь: -4.

Задають функції
найчастіше формулами (формула - formula), таблично (таблиця - table) або
графічно. Графіком функції називається множина всіх точок координатної
площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати -
відповідним значенням функції.

Наприклад, формула y=x² задає функцію, яка виражає
відповідність між числами і їх квадратами. Якщо область визначення цієї
функції - множина цілих чисел з проміжку [-3;3], то її можна задати
таблицею:

Графіком функції y=x²,
заданої на множині всіх дійсних чисел R, є вся парабола (parabola) з
нескінченними вітками (рис. 1). Область визначення цієї функції -
множина R, а область значень - проміжок [0;+∞].

Елементарні функції

y=kx - пряма пропорційність (direct proportionality). Її графік - пряма, що проходить через початок координат (рис. 2).

Область визначення цієї функції - множина R, область значень, якщо k≠0 - теж множина R.

Лінійною (лінійна функція - linear function) називають функцію, яку
можна задати формулою виду y=kx+b. Її графік - пряма, не паралельна
(non-parallel) осі y (рис. 3). Область визначення R, область значень -
множина R, якщо k≠0 .
Для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його
точок. Якщо k = 0, область значень - одне число b (рис. 4).

y=k/x – обернена пропорційність (inverse proportionality). Її графік
– гіпербола (hyperbola). Коли k>0, вітки цієї гіперболи розміщені в І
і ІІІ чвертях координатної площини (рис. 5), коли k<0 – в II и IV
чвертях (рис. 6). Область визначення функції y=k/x множина R без числа
0, область значень – ця сама множина.

Графік функції y=x³ зображено на рис. 7. Її область визначення і множина значень – множина R.

Графік функції

– одна вітка параболи (рис. 8). Її область визначення [0;+∞) і область значень [0;+∞).

Якщо змінна y
залежить від x, то записують y=f(x). Символом f(a) позначають значення
функції y=f(x) коли x=a. Нехай, наприклад, функцію задано формулою y=3x²-5. Можна записати і так: f(x)=3x²-5. У цьому випадку f(0)=3·0²-5=-5; f(1)=3·1²-5=-2; f(-2)=3·(-2)²-5=7 .

Зауваження. Якщо y=f(x), то часто кажуть, що y – функція від x,
тобто функцією називають змінну y. Однак здебільшого під функцією
розуміють не одну залежну змінну, а відповідність між значеннями двох
змінних. До того ж – не будь-яку відповідність, а однозначну, при якій
кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної y.

Перетворення графіків елементарних функцій
Графіки функцій y=f(x) і y=f(-x) симетричні відносно осі x (рис. 9).

Щоб побудувати
графік функції y=kf(x), треба графік функції y=f(x) розтягнути від осі x
в k разів, якщо k>1, або стиснути його в k разів до осі x, якщо 0<1.

Щоб отримати
графік функції y=f(x)+n, треба графік функції y=f(x) перенести на n
одиниць в напрямі осі y, якщо n>0 або в протилежному напрямі, якщо
n<0.

Щоб отримати графік
функції y=f(x-m), досить графік функції y=f(x) перенести на m одиниць в
напрямі осі x, якщо m>0 або на -m одиниць в протилежному напрямі,
якщо m<0 (рис. 10).

Функція, яка задається формулою y=ax²+bx+c, де a,b,c – довільні числа, а x – аргумент, називається квадратичною функцією.

Графік функції y=ax2+bx+c – парабола, координати вершин якої

Якщо a>0, то вітки параболи направлені вверх, якщо a<0, то вітки параболи направлені вниз.

Щоб побудувати графік функції y=ax²+bx+c, можна знайти
координати вершини параболи і ще кількох її точок, позначити їх на
координатній площині і провести через них плавну лінію. Можна
дотримуватись іншого способу: спочатку побудувати графік функції y=ax²+bx, а потім підняти або опустити його на |с| одиниць. Графік функції y=ax²+bx будувати неважко, оскільки він перетинає вісь абсцис у точках x=0 і x=-b/a, а її вершина знаходиться у

точці

.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області
визначення. Область визначення функції (definitional domain) – проекція
(projection) її графіка на вісь x; область значень функції (codomain) –
проекція її графіка на вісь у (рис. 11).

Якщо для будь-яких
двох значень аргумента більшому значенню аргумента відповідає більше
значення функції, то таку функцію називають зростаючою (зростаюча
функція – increasing function). Якщо для будь-яких двох значень
аргумента більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції,
то таку функцію називають спадною (спадна функція – drop-down
function). Наприклад, функції y=2x, y=x³ – зростаючі,

а функції y=-2x,

– спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної – «опускається вниз».

Якщо графік функції
симетричний (symmetric) відносно осі y, її називають парною (парна
функція – even function). Якщо графік функції симетричний відносно
початку координат, її називають непарною (непарна функція – odd
function).

Функція y=f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно
нуля і для кожного значення x з області визначення f(-x)=f(x). Функція
y=f(x) непарна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і
для кожного значення x з області визначення -f(-x)=f(x).

Степенева функція з натуральним показником n парна, якщо число n парне (рис. 12) або непарна, якщо число n непарне.