Функції та графіки
Якщо кожному
значенню змінної x з деякої множини (множина - set) D відповідає єдине
значення змінної y, то таку відповідність називають функцією (функція -
function).
При цьому x називають незалежною змінною (незалежна змінна - independent
variable) або аргументом (аргумент - argument), y - залежною змінною
(залежна змінна - dependent variable), а множину D - областю визначення
даної функції.
Задають функції
найчастіше формулами (формула - formula), таблично (таблиця - table) або
графічно. Графіком функції називається множина всіх точок координатної
площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати -
відповідним значенням функції. Наприклад, формула y=x2 задає функцію, яка виражає
відповідність між числами і їх квадратами. Якщо область визначення цієї
функції - множина цілих чисел з проміжку [-3;3], то її можна задати
таблицею:
Графіком функції y=x2,
заданої на множині всіх дійсних чисел R, є вся парабола (parabola) з
нескінченними вітками (рис. 1). Область визначення цієї функції -
множина R, а область значень - проміжок [0;+∞].
Елементарні функції y=kx - пряма пропорційність (direct proportionality). Її графік - пряма, що проходить через початок координат (рис. 2).
Область визначення цієї функції - множина R, область значень, якщо k≠0 - теж множина R.
Лінійною (лінійна функція - linear function) називають функцію, яку
можна задати формулою виду y=kx+b. Її графік - пряма, не паралельна
(non-parallel) осі y (рис. 3). Область визначення R, область значень -
множина R, якщо k≠0 .
Для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його
точок. Якщо k = 0, область значень - одне число b (рис. 4).
y=k/x – обернена пропорційність (inverse proportionality). Її графік
– гіпербола (hyperbola). Коли k>0, вітки цієї гіперболи розміщені в І
і ІІІ чвертях координатної площини (рис. 5), коли k<0 – в II и IV
чвертях (рис. 6). Область визначення функції y=k/x множина R без числа
0, область значень – ця сама множина.
Графік функції y=x3 зображено на рис. 7. Її область визначення і множина значень – множина R.
Графік функції |  | – одна вітка параболи (рис. 8). Її область визначення [0;+∞) і область значень [0;+∞). |

Якщо змінна y
залежить від x, то записують y=f(x). Символом f(a) позначають значення
функції y=f(x) коли x=a. Нехай, наприклад, функцію задано формулою y=3x2-5. Можна записати і так: f(x)=3x2-5. У цьому випадку f(0)=3·02-5=-5; f(1)=3·12-5=-2; f(-2)=3·(-2)2-5=7 . Зауваження. Якщо y=f(x), то часто кажуть, що y – функція від x,
тобто функцією називають змінну y. Однак здебільшого під функцією
розуміють не одну залежну змінну, а відповідність між значеннями двох
змінних. До того ж – не будь-яку відповідність, а однозначну, при якій
кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної y.
Перетворення графіків елементарних функцій
Графіки функцій y=f(x) і y=f(-x) симетричні відносно осі x (рис. 9).
Щоб побудувати
графік функції y=kf(x), треба графік функції y=f(x) розтягнути від осі x
в k разів, якщо k>1, або стиснути його в k разів до осі x, якщо 0<1.
Щоб отримати
графік функції y=f(x)+n, треба графік функції y=f(x) перенести на n
одиниць в напрямі осі y, якщо n>0 або в протилежному напрямі, якщо
n<0.
Щоб отримати графік
функції y=f(x-m), досить графік функції y=f(x) перенести на m одиниць в
напрямі осі x, якщо m>0 або на -m одиниць в протилежному напрямі,
якщо m<0 (рис. 10). Функція, яка задається формулою y=ax2+bx+c, де a,b,c – довільні числа, а x – аргумент, називається квадратичною функцією.

Графік функції y=ax2+bx+c – парабола, координати вершин якої |  |
Якщо a>0, то вітки параболи направлені вверх, якщо a<0, то вітки параболи направлені вниз.
Щоб побудувати графік функції y=ax2+bx+c, можна знайти
координати вершини параболи і ще кількох її точок, позначити їх на
координатній площині і провести через них плавну лінію. Можна
дотримуватись іншого способу: спочатку побудувати графік функції y=ax2+bx, а потім підняти або опустити його на |с| одиниць. Графік функції y=ax2+bx будувати неважко, оскільки він перетинає вісь абсцис у точках x=0 і x=-b/a, а її вершина знаходиться у
точці | . |
Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області
визначення. Область визначення функції (definitional domain) – проекція
(projection) її графіка на вісь x; область значень функції (codomain) –
проекція її графіка на вісь у (рис. 11).
Якщо для будь-яких
двох значень аргумента більшому значенню аргумента відповідає більше
значення функції, то таку функцію називають зростаючою (зростаюча
функція – increasing function). Якщо для будь-яких двох значень
аргумента більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції,
то таку функцію називають спадною (спадна функція – drop-down
function). Наприклад, функції y=2x, y=x3 – зростаючі,
а функції y=-2x, |  | – спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної – «опускається вниз». |
Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окремих проміжках.
Якщо графік функції
симетричний (symmetric) відносно осі y, її називають парною (парна
функція – even function). Якщо графік функції симетричний відносно
початку координат, її називають непарною (непарна функція – odd
function). Функція y=f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно
нуля і для кожного значення x з області визначення f(-x)=f(x). Функція
y=f(x) непарна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і
для кожного значення x з області визначення -f(-x)=f(x).
Функція, задана формулою y=xn,
де x – аргумент, а n – довільне натуральне число, називається
степеневою функцією (степенева функція – power function) з натуральним
показником. Конкретні приклади таких функцій: y=x, y=x2, y=x3, … Степенева функція з натуральним показником n парна, якщо число n парне (рис. 12) або непарна, якщо число n непарне.